3. 5. Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.

La formula  Z . W = |z| . |W| (cos (θ + µ) + i sen (θ + µ)) puede ser utilizada para hallar la potencia enésima de un numero complejo. 

Supongamos que Z = |Z| ( cos θ + isen θ ), y n es un entero positivo, entonces se obtiene:

Esta relación, que se conoce con el nombre de Formula de Moivre, y proporciona un algoritmo bastante eficiente para hallar la potencia enésima de cualquier numero complejo en forma polar.

Ejemplo. Sea Z = 2 (cos30° + i sen30°). 

Calcule la potencia de orden cinco de este numero, es decir, Z5.

EXTRACCIÓN DE LAS RAICES DE UN NÚMERO COMPLEJO.

 

Si Z es un número complejo tal que para algún entero positivo se tenga: 

 

donde W es otro número complejo, entonces se dice que W es una raíz enésima de
Z. Esto lo denotamos por: 

En los números reales, todo número posee una raíz de orden impar y dos raíces de orden par. En los complejos hay una mayor abundancia de raíces . Concretamente, se tiene la siguiente propiedad:

Todo número complejo tiene exactamente n reices n - esimas. Así por ejemplo 1 tiene 4 raíces cuartas, pues: 

Luego 1, -1, i, y -i son las reices cuartas de 1. 

A continuación damos una fórmula para hallar las raíces de un número complejo. Sea Z = |Z| (cos θ + i sen θ).

 

Si representamos gráficamente estas tres raíces, veremos que se hallan sobre una circunferencia con centro en el origen y radio 2 . Además todas ellas están a la misma distancia de las otras: formando los vértices de un triángulo equilatero, tal como puede verse ne la figura siguiente: 

Ejemplo. Hallar todas las raÍces sextas de la unidad.

Solución. Tomamos la representación en forma polar de 1, la cual viene dada por: 1 = 1 (cos0° + i sen 0°), luego hallamos las raíces sextas mediante la fórmula dada para la obtención de las raíces de un número complejo: 

 

con k = 0,1,2,3,4, y 5.

Estos valores de k nos dan las seis raíces:

W1 = 1(cos 0° + i sen 0°) k = 0
W2 = 1(cos 60° + i sen 60°) k = 1
W3 = 1(cos120° + i sen120°) k = 2
W4 = 1(cos180° + i sen180°) k = 3
W5 = 1(cos240° + i sen240°) k = 4
W6 = 1(cos300° + i sen300°) k = 5
 

Si las graficamos en el plano complejo, vemos que ellas ocupan los vértices de un
hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 1.

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

3. 4. Forma polar y exponencial de un número complejo

En la sección anterior no dimos una interpretación geométrica para el producto de números complejos, ni tampoco para la división.

En el caso del producto recordemos la fórmula utilizada para calcular la multiplicación:

El lado derecho de esta expresión, resulta difícil de interpretar usando el sistema de coordenadas cartesianas. Para solventar este problema, requerimos de otro sistema de coordenadas. Veremos como la trigonometría nos sirve de herramienta para resolver este problema. Podemos asignarle a cada número complejo Z = a + bi en el plano, un radio vector, que conecta al punto Z con el origen. Este radio vector forma un ángulo con el eje real o de las X, que será denotado por θ. 

Nota: El ángulo θ se mide a partir del eje real y en sentido contrario a las agujas del reloj. Se puede expresar en unidades de grados o radianes.

De acuerdo a la disposición de los ejes y el radio vector, se ha formado un triángulo rectángulo, con catetos a y b, e hipotenusa dada por el radio vector. Usando el Teorema de Pitágoras, se demuestra que la longitud de este radio vector es:

igual al módulo del complejo Z. Esto es:

Usando conocimientos de trigonometría en el triangulo anterior, se demuestran las relaciones

Estas fórmulas reciben el nombre de Fórmulas de cambio de coordenadas polares a cartesianas.

Está claro que si conocemos el argumento principal de Z y su módulo, entonces lo podemos representar geométricamente sin ambigüedad y además podremos obtener sus coordenadas cartesianas

Se tiene entonces la representación de Z en Forma Polar:

Si se conocen las coordenadas cartesianas de Z = a + bi, entonces |Z| y θ se calculan de acuerdo a las formulas:

 

llamadas fórmulas de cambio de coordenadas cartesianas a polares. 

Ejemplo. Número complejo en el primer cuadrante.

Hallar la Forma Polar del complejo Z = 2 + 2i, y representarlo geométricamente  en el plano.

Solución. En primer lugar, debemos calcular el módulo y el ángulo del complejo, mediante las fórmulas correspondientes, tal como se muestra a continuación:

Luego calculamos el ángulo:

La representación polar de Z es

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN LA FORMA POLAR

Sean Z =|Z|(cosθ+ i sen θ) y W = |W|(cos µ + isen µ )

 Podemos realizar la multiplicación de estos números complejos en forma polar, utilizando la formula siugiente:

 

Después de usar un par de identidades trigonométricas muy conocidas, obtenemos la fórmula  general para la multiplicación de números complejod en forma polar: 

 También se puede obtener una formula similar para la división en forma polar. Dicha formula viene dada por:

OBSERVACIÓN 

 

3. 3. Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo.

El conjugado de Z

Si Z = a + bi es un numero complejo, entonces el Conjugado de Z, denotado por    , es otro número complejo definido por:

Si Z = a + bi es un numero complejo, entonces el Conjugado de Z, denotado por 

  , es otro número complejo definido por:

  

El Módulo de Z

Si Z = a + bi es un número complejo, el Módulo de Z es el número real:

Observación: Se puede expresar el módulo de Z en función de él mismo y de su conjugado, usando la relación:

Ejemplo. Sea Z = 3 + 4i, para hallar su modulo hacemos:

División de números complejos

¿Cómo se dividen entre sí dos números complejos ?

El caso más sencillo se presenta al dividir un complejo cualquiera entre un número real. Por ejemplo:

 

Si Z y W son dos números complejos, y W ≠ 0, podemos hacer la división de Z entre W de la forma siguiente:

Tenemos entonces la regla para dividir números complejos:

«Para hacer la división de dos números complejos Z y W, primero se multiplica Z por el conjugado de W y éste resultado se divide entre el módulo al cuadrado de W, el cual es un número real»

  

Si hacemos Z = a + bi y W = c + di, tendremos:

Ejemplo. Sea Z = 3 + 4i y W = 2 + 3i. Entonces:

Interpretación geométrica del modulo y el conjugado

Entonces la interpretación geométrica del módulo de un complejo es:

«El módulo de un número complejo Z es igual a la distancia desde el punto Z hasta el origen del eje de coordenadas del plano complejo»

Por otro lado, si Z = a + bi es un número complejo, su conjugado viene dado por:

Luego el conjugado en forma geométrica se obtiene al reflejar el punto correspondiente a Z, alrededor del eje real, tal como puede verse a continuación:

Entonces la  interpretación geométrica del conjugado de un complejo Z es:

«El conjugado de un número complejo Z se obtiene como una imagen especular de Z alrededor del eje real»

En la sección anterior no dimos una interpretación geométrica para el producto de números complejos, ni tampoco para la división.

En el caso del producto recordemos la fórmula utilizada para calcular la multiplicación:

 

El lado derecho de esta expresión, resulta difícil de interpretar usando el sistema de coordenadas cartesianas. Para solventar este problema, requerimos de otro sistema de coordenadas.En la siguiente sección, veremos como la trigonometría nos sirve de herramienta para resolver este problema.

3. 2. 1 Representación geométrica de números complejos

Así como los números reales se representan geométricamente por medio de una recta, es posible dar una representación geométrica de los números complejos usando un sistema de coordenadas cartesianas.

Haremos ahora una identificación entre los números complejos y los puntos del plano. A cada número complejo Z = a + bi, se le asocia el punto del plano, P(a , b).

De esta forma, se obtiene una representación geométrica o Diagrama de Argand de Z, ver la  figura:

 

En esta representación, la componente real de Z se copia sobre el eje X, que será llamado eje real y la componente imaginaria sobre el eje Y, que será llamado eje imaginario. El conjunto de todos estos puntos, será llamado Plano Complejo.

Ejemplo. El complejo Z = 4 + 5i se puede representar en el Plano Complejo, para lo cual ubicamos primero al punto de coordenadas (4, 5). Una vez hecho esto se tendrá la representación de Z, ver la figura siguiente:

Ejercicio. Representa en el plano complejo, el Número complejo W = -6 + 2i

3. 2. Operaciones fundamentales con números complejos

Suma de Numeros complejos.

 

La operación suma de números complejos esta basada en la suma de números reales.

Regla: 

Para sumar dos números complejos hay que sumar las partes reales por un lado y las partes imaginarias por  otro lado, como números reales.

Sean z1 = a1 + b1i  y  z2 = a2 + b2i  dos números complejos. 

Entonces la suma de z1 con z2, denotada por z1 + z2 es el número complejo: 

z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i

Es decir, para sumar números complejos simplemente se suman sus componentes correspondientes.

Ejemplo:

Para sumar: z1 = 3 + 2i con z2 = -8 + 4i

Hacemos:

z1 + z2 = (3 + 2i) + (-8 + 4i) = (3 - 8) + (2 + 4)i

z1 + z2 = -5 + 6i

Resta de números complejos.   

La resta o diferencia de dos números complejos se realiza restando cada parte por separado.

Más precisamente:

Sean Z = a + bi y W = c+di dos números complejos,  entonces  la diferencia o resta entre Z y W viene dada por

Z  -  W = (a - c) + (b - d)i

Estas operaciones de suma y resta satisfacen las siguientes propiedades generales:

 

1. Propiedad de Cierre para la suma. Si Z y W son dos números complejos, entonces tanto Z + W como Z - W son números complejos.

2. Propiedad asociativa. Si Z, W y U son números complejos, entonces se tiene:

      Z + (W + U) = (Z +W) + U

3. Propiedad Conmutativa. Si Z y U son números complejos, se tiene Z + U = U + Z

4. Propiedad del elemento neutro. El número complejo Z = 0 + 0i, es el elemento neutro para la suma. En efecto, si Z = a +  bi  es cualquier número complejo se tiene  Z + 0 = (a +  bi) + (0 + 0i) = (a + 0) + (b + 0)i = a + bi = Z; de la misma forma, se puede probar que 0 + Z = Z

5. Propiedad del opuesto. Si Z = a + bi es un número complejo, el opuesto de este es -Z = -a -  bi, el cual es otro número complejo. Nótese que el opuesto satisface Z + (-Z) = (-Z) + Z = 0

  

Producto de números complejos.

Sean Z = a +  bi  y W = c + di definimos su producto, mediante la fórmula: 

Z  x  W = (ac -  bd) + (ad + bc)i

Aunque parezca un poco complicada, esta expresión para el producto es consecuencia de las reglas de multiplicación para los números reales.

La multiplicación puede hacerse de dos  maneras; o bien se aplica directamente la fórmula, o bien se multiplican los complejos como expresiones algebraicas, teniendo cuidado de hacer al final la sustitución i2 = -1.

Ejemplo. 

 Sean Z = 6 + 2i y W = 3 + 5i. Para hallar Z  x W hacemos:

Z x W = (6 x 3 – 2 x 5) + (6 x 5 + 2 x 3)i = 8 + 36i

Propiedades de la multiplicación

La multiplicación de números complejos satisface las siguientes propiedades:

 

1. 1.Propiedad de Cierre para el producto. Si Z y W son dos números complejos entonces Z . W  es un numero complejo.

1. 2.Propiedad asociativa. Si Z, W y U son números complejos, entonces se tiene: Z . (W . U) = (Z . W) . U

1. 3.Propiedad Conmutativa. Si Z y U son números complejos, se tiene: Z . U = U . Z

1. 4.Propiedad del elemento neutro. El numero complejo 1, es el elemento neutro para el producto. En efecto, si Z = a + bi es cualquier número complejo se tiene: 

 

  5. Propiedad del inverso. Si Z = a + bi es un número complejo, distinto de cero, el inverso de Z es otro número complejo, denotado por Z-1, el cual satisface:

  

Propiedad distributiva. Si Z, W y U son números complejos se tienen las relaciones:

 

Antes de explicar la división entre número complejos, es necesario revisar lo que sigue…