Curso Algebra Lineal: 2. 1. Definición, notación y orden

Las matrices son el medio ideal para organizar y estructurar la nformación, especialmente la que puede reducirse a números.

Para ilustrar lo anterior, consideremos la siguiente tabla, correspondiente a las existencias en los distintos almacenes de una cadena de electrodomésticos:

Observa los datos se recogen en una tabla. En ella cada fila contiene las existencias de uno de los almacenes, y cada columna el número de unidades de cada uno de los productos.

Si asignamos a cada almacén un número (Almacén A = 1, Almacén B = 2, …), y acordamos un orden en los electrodomésticos (Lavadoras = 1, Frigoríficos = 2, …), toda la información de la tabla puede mostrarse de lasiguiente forma, exclusivamente numérica:

Un arreglo de números como el que se meustra en la figura anterior, recibe el nombre de Matriz. Se les nombra utilizando letras mayúsculas; en este caso tenemos la Matriz A.

En la matriz anterior, el elemento que ocupa la segunda fila y la tercera columna es a₂₃= 67 . Esto significa que en el almacén B hay 67 hornos. ¿Cuál sería el elemento a₄₅ ? ¿Qué representa ese dato?

Como la tabla tiene 4 filas y 5 columnas, se dice que es una matriz de dimensiones 4×5.

Entonces, de forma general, una Matriz es una tabla numérica que se escribe de la siguiente forma:

De la matriz anterior se dice que:

Es una matriz de dimensiones m×n , ya que tiene m filas y n columnas.
Al elemento que ocupa la fila i y la columna j se le identifica como a_ij
A la matriz se la designa mediante el símbolo A= (a_ij)_{m, n}
Se designa por M_m×n al conjunto de las matrices de dimensiones m×n

Observe el siguiente video para que refuerce los conceptos básicos:

Clasificación

Igualdad

Debemos tener muy claro cuándo diremos que dos matrices son iguales: dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y coinciden los términos que ocupan el mismo lugar en ambas:

A, B∈M_m×n : A=B ⇔ a_ij=b_ij , ∀_{i , j}

Matriz Traspuesta

La traspuesta de la matriz A= (a_ij)_m,n es la matriz A^t =(a ji)_{n ,m}, que se obtiene al cambiar en A las filas por las columnas y las columnas por las filas.

Ejemplo :

Matriz fila

Es aquella que tiene sólo una fila. Una matriz fila es A=(−1 2 2 −3). Pueden escribirse también separando sus componentes con comas. A una matriz fila también se conoce como "vector fila".

Matriz columna

Es aquella que tiene sólo una columna.Una matriz columna esde la forma:

A una matriz columna también se le conoce como "vector columna".

Matriz cuadrada

Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas. Si la matriz es de dimensiones n×n se dice que es de orden n. Una matriz cuadrada de orden 2 es:

Matriz Diagonal

Se llama diagonal a la serie formada por los elementos a₁₁, a₂₂, ... ,a_nn

Matriz triangular

Es una matriz cuadrada en la que todos sus términos situados “a un lado” de la diagonal principal son nulos. Podemos encontrar dos tipos de matriz triangular:

Matriz triangular superior:

Matriz ttringular inferior:

Matriz diagonal

Es aquella matriz cuadrada en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos. Una matriz diagonal es:

Matriz escalar

Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal idénticos.

Matriz unidad o identidad

La matriz identidad o unidad de orden n es la matriz cuadrada en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1, y todos losdemás elementos son 0. Así, la matriz identidad de orden tres es: