3. 2. Operaciones fundamentales con números complejos

Suma de Numeros complejos.

 

La operación suma de números complejos esta basada en la suma de números reales.

Regla: 

Para sumar dos números complejos hay que sumar las partes reales por un lado y las partes imaginarias por  otro lado, como números reales.

Sean z1 = a1 + b1i  y  z2 = a2 + b2i  dos números complejos. 

Entonces la suma de z1 con z2, denotada por z1 + z2 es el número complejo: 

z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i

Es decir, para sumar números complejos simplemente se suman sus componentes correspondientes.

Ejemplo:

Para sumar: z1 = 3 + 2i con z2 = -8 + 4i

Hacemos:

z1 + z2 = (3 + 2i) + (-8 + 4i) = (3 - 8) + (2 + 4)i

z1 + z2 = -5 + 6i

Resta de números complejos.   

La resta o diferencia de dos números complejos se realiza restando cada parte por separado.

Más precisamente:

Sean Z = a + bi y W = c+di dos números complejos,  entonces  la diferencia o resta entre Z y W viene dada por

Z  -  W = (a - c) + (b - d)i

Estas operaciones de suma y resta satisfacen las siguientes propiedades generales:

 

1. Propiedad de Cierre para la suma. Si Z y W son dos números complejos, entonces tanto Z + W como Z - W son números complejos.

2. Propiedad asociativa. Si Z, W y U son números complejos, entonces se tiene:

      Z + (W + U) = (Z +W) + U

3. Propiedad Conmutativa. Si Z y U son números complejos, se tiene Z + U = U + Z

4. Propiedad del elemento neutro. El número complejo Z = 0 + 0i, es el elemento neutro para la suma. En efecto, si Z = a +  bi  es cualquier número complejo se tiene  Z + 0 = (a +  bi) + (0 + 0i) = (a + 0) + (b + 0)i = a + bi = Z; de la misma forma, se puede probar que 0 + Z = Z

5. Propiedad del opuesto. Si Z = a + bi es un número complejo, el opuesto de este es -Z = -a -  bi, el cual es otro número complejo. Nótese que el opuesto satisface Z + (-Z) = (-Z) + Z = 0

  

Producto de números complejos.

Sean Z = a +  bi  y W = c + di definimos su producto, mediante la fórmula: 

Z  x  W = (ac -  bd) + (ad + bc)i

Aunque parezca un poco complicada, esta expresión para el producto es consecuencia de las reglas de multiplicación para los números reales.

La multiplicación puede hacerse de dos  maneras; o bien se aplica directamente la fórmula, o bien se multiplican los complejos como expresiones algebraicas, teniendo cuidado de hacer al final la sustitución i2 = -1.

Ejemplo. 

 Sean Z = 6 + 2i y W = 3 + 5i. Para hallar Z  x W hacemos:

Z x W = (6 x 3 – 2 x 5) + (6 x 5 + 2 x 3)i = 8 + 36i

Propiedades de la multiplicación

La multiplicación de números complejos satisface las siguientes propiedades:

 

1. 1.Propiedad de Cierre para el producto. Si Z y W son dos números complejos entonces Z . W  es un numero complejo.

1. 2.Propiedad asociativa. Si Z, W y U son números complejos, entonces se tiene: Z . (W . U) = (Z . W) . U

1. 3.Propiedad Conmutativa. Si Z y U son números complejos, se tiene: Z . U = U . Z

1. 4.Propiedad del elemento neutro. El numero complejo 1, es el elemento neutro para el producto. En efecto, si Z = a + bi es cualquier número complejo se tiene: 

 

  5. Propiedad del inverso. Si Z = a + bi es un número complejo, distinto de cero, el inverso de Z es otro número complejo, denotado por Z-1, el cual satisface:

  

Propiedad distributiva. Si Z, W y U son números complejos se tienen las relaciones:

 

Antes de explicar la división entre número complejos, es necesario revisar lo que sigue…