En la sección
anterior
no dimos una interpretación
geométrica para
el producto de números complejos,
ni tampoco para la división.
En el
caso del producto recordemos la fórmula utilizada para
calcular la multiplicación:
El
lado derecho de esta expresión, resulta
difícil
de
interpretar usando el sistema de coordenadas
cartesianas. Para solventar este problema, requerimos de otro sistema
de
coordenadas. Veremos como la trigonometría nos sirve
de herramienta para resolver este
problema. Podemos
asignarle a cada número complejo
Z = a + bi en
el plano, un radio
vector, que
conecta al punto Z con el origen. Este radio vector forma
un ángulo
con el
eje real
o de las X, que será denotado por θ.
Nota: El
ángulo
θ se mide
a partir del eje real y en sentido contrario a las agujas
del reloj.
Se
puede expresar en unidades de grados o radianes.
De
acuerdo a la disposición
de
los ejes y el radio vector, se ha formado un triángulo
rectángulo, con
catetos a y b, e hipotenusa
dada por el radio vector. Usando el Teorema de Pitágoras,
se
demuestra que la longitud de este radio vector es:
igual
al módulo
del
complejo Z. Esto es:
Usando
conocimientos de trigonometría en el
triangulo
anterior,
se demuestran
las relaciones
Estas
fórmulas reciben el nombre de Fórmulas de cambio de
coordenadas polares a cartesianas.
Está claro
que si conocemos el argumento principal
de Z y su módulo,
entonces
lo podemos representar geométricamente sin ambigüedad
y además
podremos
obtener sus coordenadas cartesianas
Se tiene entonces la representación
de Z
en Forma Polar:
Si se
conocen las coordenadas cartesianas de Z = a + bi, entonces
|Z| y θ se calculan
de acuerdo a las formulas:
llamadas
fórmulas
de
cambio de coordenadas cartesianas a polares.
Ejemplo. Número
complejo
en el primer cuadrante.
Hallar
la Forma
Polar del
complejo Z = 2 + 2i, y representarlo geométricamente en el plano.
Solución. En
primer lugar, debemos calcular el módulo y el ángulo
del
complejo,
mediante las fórmulas correspondientes, tal como se muestra a continuación:
Luego
calculamos el ángulo:
La
representación polar de Z es
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN LA
FORMA POLAR
Sean Z =|Z|(cosθ+ i
sen θ)
y W = |W|(cos µ
+ isen µ
)
Podemos
realizar la multiplicación de estos
números complejos en forma polar, utilizando la formula siugiente:
Después
de usar un par de identidades trigonométricas muy conocidas, obtenemos la fórmula general para la multiplicación de números complejod en forma polar:
También se
puede obtener una
formula similar para la división en forma polar.
Dicha formula viene
dada por:
OBSERVACIÓN
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