El
conjugado de Z
Si Z = a
+ bi es
un numero
complejo,
entonces el Conjugado de Z, denotado por , es otro
número complejo
definido
por:
Si Z = a
+ bi es
un numero
complejo,
entonces el Conjugado de Z, denotado por
, es otro
número complejo
definido
por:
El Módulo
de
Z
Si Z = a + bi es un
número
complejo,
el Módulo
de Z es el número
real:
Observación: Se
puede expresar el módulo de Z
en función
de él mismo
y de su
conjugado, usando la relación:
Ejemplo. Sea
Z = 3 + 4i, para hallar su modulo
hacemos:
División
de
números
complejos
¿Cómo se
dividen entre sí dos números
complejos ?
El caso más sencillo
se
presenta al
dividir un complejo cualquiera entre un número real.
Por ejemplo:
Si Z
y W son dos números
complejos,
y W ≠ 0, podemos
hacer la división
de Z
entre W de
la forma siguiente:
Tenemos
entonces
la regla para dividir números complejos:
«Para
hacer
la división
de
dos números
complejos
Z y W, primero se multiplica Z por
el conjugado de W y éste resultado
se divide entre el módulo al
cuadrado de W, el cual es un número real»
Si hacemos Z = a + bi y W
= c + di, tendremos:
Ejemplo. Sea Z = 3 + 4i y W = 2 + 3i. Entonces:
Interpretación geométrica del modulo y el conjugado
Entonces la interpretación
geométrica del módulo
de un
complejo
es:
«El
módulo de
un número
complejo
Z es igual a la distancia desde el
punto Z hasta el origen del eje de coordenadas del
plano complejo»
Por
otro lado, si Z = a
+ bi es un
número
complejo, su
conjugado viene dado por:
Luego
el
conjugado en forma geométrica
se
obtiene al reflejar
el punto
correspondiente a
Z, alrededor del eje real,
tal como puede verse a continuación:
Entonces
la interpretación geométrica del conjugado
de un complejo Z
es:
«El conjugado
de un número
complejo
Z se obtiene como una
imagen especular
de Z alrededor del eje real»
En la sección
anterior
no dimos una interpretación
geométrica para
el producto de números complejos,
ni tampoco para la división.
El
lado derecho de esta expresión, resulta
difícil
de
interpretar usando el sistema de coordenadas
cartesianas. Para solventar este problema, requerimos de otro sistema
de
coordenadas.En la siguiente sección, veremos como la trigonometría nos sirve
de herramienta para resolver este
problema.
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