martes, 11 de diciembre de 2012

3. 3. Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo.


El conjugado de Z

Si Z = a + bi es un numero complejo, entonces el Conjugado de Z, denotado por    , es otro número complejo definido por:

Si Z = a + bi es un numero complejo, entonces el Conjugado de Z, denotado por 

  , es otro número complejo definido por:


  
El Módulo de Z
Si Z = a + bi es un número complejo, el Módulo de Z es el número real:

Observación: Se puede expresar el módulo de Z en función de él mismo y de su conjugado, usando la relación:


Ejemplo. Sea Z = 3 + 4i, para hallar su modulo hacemos:


División de números complejos
¿Cómo se dividen entre sí dos números complejos ?
El caso más sencillo se presenta al dividir un complejo cualquiera entre un número real. Por ejemplo:

 
Si Z y W son dos números complejos, y W ≠ 0, podemos hacer la división de Z entre W de la forma siguiente:

Tenemos entonces la regla para dividir números complejos:
«Para hacer la división de dos números complejos Z y W, primero se multiplica Z por el conjugado de W y éste resultado se divide entre el módulo al cuadrado de W, el cual es un número real»
  
Si hacemos Z = a + bi y W = c + di, tendremos:


Ejemplo. Sea Z = 3 + 4i y W = 2 + 3i. Entonces:


Interpretación geométrica del modulo y el conjugado
Entonces la interpretación geométrica del módulo de un complejo es:
«El módulo de un número complejo Z es igual a la distancia desde el punto Z hasta el origen del eje de coordenadas del plano complejo»
Por otro lado, si Z = a + bi es un número complejo, su conjugado viene dado por:

Luego el conjugado en forma geométrica se obtiene al reflejar el punto correspondiente a Z, alrededor del eje real, tal como puede verse a continuación:


Entonces la  interpretación geométrica del conjugado de un complejo Z es:

«El conjugado de un número complejo Z se obtiene como una imagen especular de Z alrededor del eje real»

En la sección anterior no dimos una interpretación geométrica para el producto de números complejos, ni tampoco para la división.

En el caso del producto recordemos la fórmula utilizada para calcular la multiplicación:

 
El lado derecho de esta expresión, resulta difícil de interpretar usando el sistema de coordenadas cartesianas. Para solventar este problema, requerimos de otro sistema de coordenadas.En la siguiente sección, veremos como la trigonometría nos sirve de herramienta para resolver este problema.

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