3. 5. Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.

La formula  Z . W = |z| . |W| (cos (θ + µ) + i sen (θ + µ)) puede ser utilizada para hallar la potencia enésima de un numero complejo. 

Supongamos que Z = |Z| ( cos θ + isen θ ), y n es un entero positivo, entonces se obtiene:

Esta relación, que se conoce con el nombre de Formula de Moivre, y proporciona un algoritmo bastante eficiente para hallar la potencia enésima de cualquier numero complejo en forma polar.

Ejemplo. Sea Z = 2 (cos30° + i sen30°). 

Calcule la potencia de orden cinco de este numero, es decir, Z5.

EXTRACCIÓN DE LAS RAICES DE UN NÚMERO COMPLEJO.

 

Si Z es un número complejo tal que para algún entero positivo se tenga: 

 

donde W es otro número complejo, entonces se dice que W es una raíz enésima de
Z. Esto lo denotamos por: 

En los números reales, todo número posee una raíz de orden impar y dos raíces de orden par. En los complejos hay una mayor abundancia de raíces . Concretamente, se tiene la siguiente propiedad:

Todo número complejo tiene exactamente n reices n - esimas. Así por ejemplo 1 tiene 4 raíces cuartas, pues: 

Luego 1, -1, i, y -i son las reices cuartas de 1. 

A continuación damos una fórmula para hallar las raíces de un número complejo. Sea Z = |Z| (cos θ + i sen θ).

 

Si representamos gráficamente estas tres raíces, veremos que se hallan sobre una circunferencia con centro en el origen y radio 2 . Además todas ellas están a la misma distancia de las otras: formando los vértices de un triángulo equilatero, tal como puede verse ne la figura siguiente: 

Ejemplo. Hallar todas las raÍces sextas de la unidad.

Solución. Tomamos la representación en forma polar de 1, la cual viene dada por: 1 = 1 (cos0° + i sen 0°), luego hallamos las raíces sextas mediante la fórmula dada para la obtención de las raíces de un número complejo: 

 

con k = 0,1,2,3,4, y 5.

Estos valores de k nos dan las seis raíces:

W1 = 1(cos 0° + i sen 0°) k = 0
W2 = 1(cos 60° + i sen 60°) k = 1
W3 = 1(cos120° + i sen120°) k = 2
W4 = 1(cos180° + i sen180°) k = 3
W5 = 1(cos240° + i sen240°) k = 4
W6 = 1(cos300° + i sen300°) k = 5
 

Si las graficamos en el plano complejo, vemos que ellas ocupan los vértices de un
hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 1.

 

EJERCICIOS PROPUESTOS