2. 3. Suma y resta de matrices

  

Para sumar y restar matrices, Sumamos los valores que ocupan la misma posición., es decir:

 

1. El valor que se halla en la posición (1 1) de A con el valor de la posición (1 1) de la matriz B.
2. El valor que se halla en la posición (1  2) de A con el valor de la posición (1   2) de la matriz B.
3. El valor que se halla en la posición (1  3) de A con el valor de la posición (1   3) de la matriz B.
4. Y así sucesivamente con el resto  de las filas.

 

 

 

 

Ejercicio: ¿Cuál es el valor de la resta de las matrices C y D

 

 

Respuesta:

 

 

 Propiedades de la suma de matrices

 

 
 

 
 

 

Multiplicación de Matrices

 Primer caso. Multiplicación de un Escalar (numero) por una matriz

 El producto del número real k por la matriz A= (a_{i j})_{m ,n} es la matriz que se obtiene al multiplicar cada elemento de A por dicho número:
k⋅A = (k a_{i j})_{m, n}

Ejemplo: Sea la siguiente matriz multiplicada por el escalar:

 

 

 

 

 
 
Propiedades
 

 

 

Segundo caso. Multiplicación de una matriz m x n por una matriz columna.

Es necesario que la primera matriz  tenga el mismo número de columnas como filas tenga la segunda matriz. El resultado será una matriz que tiene el mismo número de filas de la primera y tantas columnas como tiene la segunda

 

 

Procedimiento de solución

 

1. Tenemos que multiplicar el primer elemento de la 1ª fila de A (3) por el primer elemento de la fila de B (2).
2. El segundo elemento de la 1ª fila de A (2) por el 2º elemento de la fila de B ( -4).
3. El tercer elemento de la 1ª fila de A (6) por el tercer elemento de la fila de B (6).

 

 

 

Hacemos lo mismo con los elementos de la 2a fila de A:

Multiplicamos el primer elemento de la 2ª fila de A (– 2) por el primer elemento de la fila de B (2).

El segundo elemento de la fila 2ª de A (4) por el 2º elemento de la fila de B ( -4).

El tercer elemento de la 2ª fila de A (6) por el tercer elemento de la fila de B (6).

 

 

 

 Debemos tener presente:

1.  Sólo se pueden multiplicar matrices cuando el número de columnas del multiplicando coincide con el número de filas del multiplicador.
2. Un procedimiento sencillo para llevar a cabo esta operación es colocar cada fila del multiplicando en forma de columna y colocarla enfrente del multiplicador y hacer el producto de los elementos que se encuentren uno frente al otro
3. El resultado de un producto de matrices es una matriz con el número de filas igual al multiplicando y el número de columnas igual a las que tiene el multiplicador.

 

Ejemplo:

 

 

Tercer caso. Multiplicar dos matrices m x n

Propiedad: En todo producto, el número de columnas del multiplicando debe ser igual al número de filas del multiplicador y el resultado debe tener tantas filas como el multiplicando y tantas columnas  como  el multiplicador.

 

 

 

Procedimiento: Multiplicamos cada fila de la matriz A por cada columna de la matriz B y sumamos ordenadamente los productos obtenidos

 

 

 Ejemplo: 

 

 

DIVISIÓN DE MATRICES 

La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B  tal que A/B = AB^-1:  

Tenemos 2 casos  de división de matrices:

Primer caso. Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar.  

Ejemplo:

 

 

 

 

Segundo Caso. División de Dos matrices m x n

En este caso tenemos que: A/B = AB^-1. Donde: B^-1 = Inversa de la Matriz B

Para calcular la inversa de la matriz B se utilizan varios procedimientos, pero antes de entrar en la explicación de los procedimientos para el cálculo de la matriz inversa, tenemos que saber que: 

• Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que: AB = BA = I  
• Siendo I la matriz identidad. Llamamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A^-1