3. 1. Definición y origen de los números complejos

 

Un Número Complejo es una expresión del tipo:

z = a + bi 

donde a y b son números reales e i es un símbolo.

Este tipo de números, algo misteriosos, por el momento, aparecen entre las soluciones de ecuaciones algebraicas con una incógnita. Por ejemplo la ecuación

x2 + x + 1 = 0

no tiene raíces reales. 

Al tratar de aplicar la formula que da la solución de una ecuación de segundo grado, nos encontramos con la expresión:

No se puede tener una raíz cuadrada de un numero negativo. Sin embargo, si usamos propiedades de los radicales se obtiene:

 

luego la solución de este problema es un número algo misterioso de la forma:

Que significado se le puede dar a una raíz cuadrada de un numero negativo?

Porque no dejar de lado esta dificultad y aceptar que este tipo de ecuación no tiene solución?

La necesidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, incluyendo estas cuyas soluciones nos dan este tipo extraño de números, nos motiva a crear un sistema numérico ampliado, con propiedades similares a las de los números reales. Dentro de este contexto se acepta el símbolo  Raiz cuadrada de -1    como una entidad matemática nueva. 

Comenzaremos por introducir un nuevo numero o símbolo, denotado por i, el cual será llamado la unidad imaginaria y que cumple con la condición:

 

O bien:

 

Una vez hecho esto construimos un conjunto C llamado Números Complejos, cuyos elementos son combinaciones de la forma:

 Donde a y b son números reales. Vemos entonces que todo numero complejo consta de dos partes, o componentes, llamadas: parte real y parte imaginaria, dadas por a y b respectivamente.

Ejemplo: El siguiente es un numero complejo:

Su parte real es raíz cuadrada de 2 y su parte imaginaria es raiz cuadrada de -3.

Ejemplo. El siguiente es un numero complejo:

Cuando no hay parte imaginaria, como en este caso, se dice que el complejo es real. Entonces los Números Reales forman parte del conjunto de los Números Complejos.

Ejemplo. El siguiente es un numero complejo:

Cuando un número complejo no tiene parte real, como en el presente caso, se dice que es un imaginario puro.